Logarithmus

Der Logarithmus-Rechner berechnet log_b(x) – den Logarithmus einer Zahl x zu einer frei wählbaren Basis b, egal ob Zehnerlogarithmus (lg), natürlicher Logarithmus (ln) oder dualer Logarithmus (ld). Du gibst einen Wert und eine Basis ein und siehst sofort, mit welcher Hochzahl du die Basis potenzieren musst, um diesen Wert zu erhalten – praktisch für Schule, Studium und überall dort, wo du Exponentialgleichungen umkehren musst.

So funktioniert der Logarithmus-Rechner

Trage bei Wert (x) die Zahl ein, deren Logarithmus du berechnen möchtest, und bei Basis die gewünschte Basis – etwa 10 für den Zehnerlogarithmus (lg), 2 für den dualen Logarithmus (ld) oder e ≈ 2,71828 für den natürlichen Logarithmus (ln). Voreingestellt sind x = 1000 und Basis = 10. Das Ergebnis erscheint bei jeder Eingabe sofort und lässt sich per Klick kopieren; zusätzlich zeigt das Tool immer den natürlichen Logarithmus von x an, unabhängig von der gewählten Basis.

So wird gerechnet

Der Logarithmus ist die Umkehrung des Potenzierens: log_b(x) = y bedeutet b^y = x – gesucht ist also die Hochzahl y, mit der du b potenzieren musst, um x zu erhalten. Berechnet wird das über die Basiswechselformel log_b(x) = ln(x) / ln(b), wobei ln der natürliche Logarithmus ist. Deshalb muss x größer 0 sein – der Logarithmus von 0 oder einer negativen Zahl ist im Reellen nicht definiert – und die Basis größer 0 und ungleich 1.

Beispiel

Für die Vorgabewerte x = 1.000 und Basis = 10 zeigt das Tool log10(1.000) = 3, denn 10³ = 1.000. Der zusätzlich angezeigte natürliche Logarithmus beträgt ln(1.000) ≈ 6,907755. Stellst du die Basis auf 2 um – den in der Informatik gebräuchlichen dualen Logarithmus – und gibst x = 8 ein, erhältst du log2(8) = 3, weil 2³ = 8 ist.

Wofür brauche ich das?

Logarithmen kehren Exponentialfunktionen um und tauchen überall dort auf, wo Größen über mehrere Zehnerpotenzen variieren: beim pH-Wert in der Chemie (Basis 10), bei Dezibel-Angaben in der Akustik oder bei der Informationsmenge in Bits (Basis 2). Auch beim Lösen von Exponentialgleichungen in der Schule – etwa bei der Frage, nach wie vielen Jahren sich ein Kapital bei einem festen Zinssatz verdoppelt – ist der Logarithmus das zentrale Werkzeug, weil er die gesuchte Zeit aus dem Exponenten löst.

Häufige Fragen

Werden meine Eingaben gespeichert?

Nein. Die Berechnung läuft vollständig lokal in deinem Browser, es werden keine Daten an einen Server übertragen.

Was ist der Unterschied zwischen log, ln und lg?

lg ist der Logarithmus zur Basis 10, ln der natürliche Logarithmus zur Basis e ≈ 2,71828, und ld (auch log2 genannt) der duale Logarithmus zur Basis 2. Alle drei berechnest du hier, indem du einfach die passende Basis einträgst.

Warum akzeptiert das Tool keinen negativen Wert oder die 0?

Weil der Logarithmus einer Zahl kleiner oder gleich 0 im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist. Der Wert x muss deshalb größer 0 sein.

Warum muss die Basis größer 0 und ungleich 1 sein?

Bei der Basis 1 ergibt jede Hochzahl wieder 1, eine eindeutige Lösung gäbe es also nicht. Negative Zahlen oder 0 als Basis sind im Reellen ebenfalls nicht sinnvoll definierbar, deshalb meldet das Tool dann einen Fehler.

Was bedeutet das zusätzlich angezeigte Ergebnis ln (natürlich)?

Das ist der natürliche Logarithmus deines eingegebenen Werts x zur Basis e, unabhängig davon, welche Basis du oben eingestellt hast – nützlich als Referenzwert oder für Weiterrechnungen.